Calculo: agosto 2013

miércoles, 28 de agosto de 2013

Ecuaciones Trigonometricas

Que es una Ecuacion Trigonometrica?

Una ecuación trigonométrica es un comparación de una expresión trigonométrica con un valor determinado, el cual me llevará a encontrar con exactitud el o los valores de la o las incógnitas presentes en dicha ecuación.

Otra manera para definir una ecuación trigonométrica es que esta es una ecuación en la que aparece una o más razones trigonométricas. Para resolver una ecuación trigonométrica es conveniente expresar todos los términos de la ecuación con el mismo arco (ángulo) y después reducirlo a una razón trigonométrica, o bien, factorizar la ecuación si es posible.

Ejemplos:

1) 2sen X-1=0
=2senX/2=1/2         se despeja para encontrar senX
senX=1/2

2) 2cos^2X - 7cosX +3=0
(2cosX-1) (cosX-3)=0

2cosX-1=0                cosX-3=0
2cosX/2= 1/2             cosX=3      se despeja para encontrar los valores de cosX
cosX=1/2

martes, 27 de agosto de 2013

Identidades Trigonometricas:

Formulas de reduccion de potencias

Formulas de mitad de angulo y semiangulo

$\sin \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$

$\cos \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$

$\begin{align} \tan \tfrac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\ &= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \end{align}$

Ejemplo:

sábado, 24 de agosto de 2013

Formulas de doble angulo:

Definicion:
Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea $\sin(x+x)=\sin(2x)$ ) en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente

Fórmula del ángulo doble
$\begin{align} \sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$	$\begin{align} \cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ &= 1 - 2 \sin^2 \theta \\ &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$	$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\,$	$\cot 2\theta = \frac{\cot \theta - \tan \theta}{2}\,$

Formulas:

sen2x= 2senxcosx
cos2x=cos^2-1
tan2x=2tanx/1-tan^2x

Probrando identidades:

Sen2x= 2sexcosx
Sen (x+x)=sexcosx+cosxsenx
=2senxcosx

Cos2x=cos (x+x_
=cosxcos -senxsenx
=cos^2-sexn^2x
=cos^2-1(1-cos^2x)
=cos^2-1+cos^2
=2cos^2-1

Tan2x=2tanx/1-tan^2x
Tan(x+x)=tanx+tanx/1-tanxtanx
= 2tanx/1-tan^2x

Ejemplos:
1) x= -2/3, x esta en el cuadrante II calcule cos 2x y sen 2x.
cos2x=2cos^2-1
=2(-2/3)^2-1
=2(4/9)-1
= 8/9 - 1
=-1/9

Segun la indentidad si tengo sen^2 + cos^2=1
sen^2=1-cos^2
(Raiz cuadrada) de sen^2= raiz cuadrada) de 1-cos^2
senx= (raiz cuadrada) de 1- cos^2 x

En este caso se coge el positivo porque el cuadrante es positivo.

sen2x=2senxcosx
senx= (raiz cuadrada) de 1- (-2/3)62
= (raiz cuadrada) de 1-4/9
=raiz cuadrada de 5/9 (aqui se puede simplificar mas)
=raiz cuadrada de 5 sobre 3

B) sen^2= 2senxcosx
=2( raiz cuadrada de 5 /3)(2 2/3)
=-4raiz cuadrada de 5/(sobre) 9

lunes, 19 de agosto de 2013

Formulas de Adiccion y Sustraccion y Formulas de Cofusion

Las formulas de Adicion y Cofusion son las siguientes:

COS (U-V) = COS U COS V + SEN U SEN V
COS (U+V) = COS U COS V - SEN U SEN V

En esta formula de coseno arriba presentada los signos cambian de acuerdo al signo que se encentre en el parentesis. Si en el parentesis el signo es negativo pues el de la ecuacion es positivo y viceversa.

SEN (U+V) = SEN U COS V + COS U SEN V
SEN (U-V) = SEN U COS V - COS U SEN V

TAN (U+V) = TAN U + TAN V / 1 - TAN U TAN V
TAN (U-V) = TAN U - TAN V / 1 + TAN U TAN V

Las formulas de cofusion son las siguientes, en las cuales si U es un numero real o la medida en radianes de un angulo, entonces:

1. COS (π/2-U) = SEN U
2. SEN (π/2-U) = COS U
3. TAN (π/2-U) = COT U
4. COT (π/2-U) = TAN U
5. SEC (π/2-U) = CSC U
6. CSC (π/2-U) = SEC U

Un dato importante de estas formulas de cofusion es que es recomendable que cuando se acomoden los angulos en el parentesis para resolver se pongan en orden de mayor a menor (60°,45°,30°) debido a que luego en el proceso te puede dar a numeros negativos.
Esto es un buen truco para los ejercicios regulares ya que hay otros en los que es necesario buscar angulos mas grandes que se encuentran en el circulo unitario.

Para este tipo de formulas es de gran ayuda saber cambiar de grados a radianes y de radianes a grados utilizando las siguientes formulas:

Grados a Radianes
A° = A (π/180) radianes

Radianes a Grados
+ Radianes = + (180/π)°

Ademas es de gran ayuda conocer los angulos del circulo unitario.

Aqui pongo un video que nos muestra un ejemplo completo de como cambiar un ejercico de radianes a grados y luego resolverlo completo con las formulas de adicion y sustraccion y las de cofusion.

http://www.youtube.com/watch?v=Y5B-11sjYHU

martes, 13 de agosto de 2013

Demostración de identidades trigonometricas

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Esta nos permite plantear una misma expresión de diferentes formas y son muy útiles para simplificar expresiones que tegan incluidas funciones trigonométricas. Dentro de las identidades trigonométricas encontramos distintos terminos, estos son:

a) coseno: definido como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.
b) seno: definido como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectangulo.
c) tangente: definido como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente en un triángulo rectángulo.
d) cosecante: definido como la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
e) secante: definido como la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
f) cotangente: definido como la razón enre el cateto adyacente y el cateto opuesto.

Hay tres criterios para la demostración de identidades trigonométricas, estos son:

1) Elejir un miembro de la ecuación. Su objetivo es transformarlo en el otro miembro de la ecuación.
2) Use el álgebra y la identidades conocidas para cambiar el lado con el que empezó.
3) Escribir las funciones en terminos de seno y coseno.